Question

10．如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=$4\sqrt{3}$cm，AD=8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当EP⊥BC时，求t的值是多少？
（2）设△PEF的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使面积y最大？若存在，求出y的最大值；若不存在，说明理由．
（4）连接AP，是否存在某一时刻t，使点E恰好在AP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当EP⊥BC时，DE=PC，得出8-2t=t，即可求出t；
（2）作AG⊥BC于G，先求出CD=AG=6，再由△DEF∽△DAC，得出比例式得出DF，CF，用梯形DEPC的面积减去△DEF和△CPF的面积即为△PEF的面积；
（3）由（2）得y是t的二次函数，二次项系数＜0，故有最大值，配方得顶点式，即可得出最大值；
（4）由点E在AP的垂直平分线上，得出AE=EP，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）根据题意得：AE=2t，PC=t，
∴DE=8-2t，
当EP⊥BC时，DE=PC，
∴8-2t=t，
解得：t=$\frac{8}{3}$；
（2）作AG⊥BC于G，如图所示：
则四边形AGCD是矩形，∠AGB=90°，
∴CD=AE，AG=AB•sin60°=4$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∴CD=6，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{DE}{AD}$，即 $\frac{DF}{6}=\frac{8-2t}{8}$，
∴DF=6-$\frac{3}{2}$t，
∴CF=$\frac{3}{2}$t，
∵S_梯形DEPC=$\frac{1}{2}$（8-2t+t）×6=24-3t，
S_△DEF=$\frac{1}{2}$（8-2t）（6-$\frac{3}{2}$t）=$\frac{3}{2}{t}^{2}$-12t+24，
S_△CPF=$\frac{1}{2}$t•$\frac{3}{2}$t=$\frac{3}{4}{t}^{2}$，
∴y=S_梯形DEPC-S_△DEF-S_△CPF
=24-3t-（$\frac{3}{2}{t}^{2}$-12t+24）-$\frac{3}{4}{t}^{2}$
=-$\frac{9}{4}$t²+9t，
即y=-$\frac{9}{4}$t²+9t；
（3）存在；
∵y=-$\frac{9}{4}$t²+9t=-$\frac{9}{4}$（t-2）²+9，-$\frac{9}{4}$＜0，
∴y有最大值，当t=2时，y的值最大，最大值=9；
（4）存在；
作PH⊥AD于H，如图所示：
则DH=PC=t，PH=6，
∴EH=8-2t-t=8-3t，
∴EP²=（8-3t）²+6²，
又∵点E在AP的垂直平分线上，
∴AE=EP，
∴（2t）²=（8-3t）²+6²，
解得：t=$\frac{24-2\sqrt{19}}{5}$，或t=$\frac{24+2\sqrt{19}}{5}$（舍去），
∴t=$\frac{24-2\sqrt{19}}{5}$时，点E恰好在AP的垂直平分线上．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定方法、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的知识以及图形面积的计算；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，通过作辅助线求出线段长度，并运用三角形相似才能求出面积．