Question

2．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4的对称轴为x=1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．
（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；
（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴求出b的值，从而求出二次函数解析式，然后求出A，C的值；
（2）在?ABCD中，∠OAB=∠AOC=90°，则AB∥CO，证出△C′OD∽△BOA，先求出△AOB的周长为6+2$\sqrt{5}$，进而求出△C′OD的周长；
（3）判断此点为费马点，根据公式求出最小值，根据点的坐标求出直线CP的解析式．

解答 解：（1）由已知得，x=-$\frac{b}{2×（-\frac{1}{2}）}$=1，则b=1，抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴A（0，4），令y=0，得-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
∴x₁=-2，x₂=4．
（2）在?ABCD中，∠OAB=∠AOC=90°，则AB∥CO，
∴OB=$\sqrt{{OA}^{2}+{AB}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，OC′=OC=2，
∴∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，
∴$\frac{{C}_{△C′OD}}{{C}_{△BOA}}$=$\frac{OC′}{OB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵△AOB的周长为6+2$\sqrt{5}$，
∴△C′OD的周长为（6+2$\sqrt{5}$）×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（3）此点位费马点，设三角形AOB的三边为a，b，c，
∵OC=2，OA=4，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
PA+PB+PC=$\sqrt{\frac{1}{2}\{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+\sqrt{[3（a+b+c）（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）]}\}}$
=2$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$．
直线CP解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x+2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，四边形的性质，勾股定理，费马点等知识，综合性强，值得关注．