Question

17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6），将△OAB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点C重合，折痕为BD．
（1）求折痕BD所在直线的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在直线BD上求出满足S_△PAB=$\frac{1}{3}$S_△AOB的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质，可得BC与OB的关系，DC与OD的关系，根据勾股定理，可得D点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据线段的和差，可得AD、CA的长，根据勾股定理，可得C点坐标；
（3）根据三角形面积公式，可得O到AB的长，根据等底三角形面积间的关系，可得h与₁的关系，根据点到直线的距离，可得答案．

解答 解：（1）过点D作DC⊥AB于C，由折叠的性质得：BC=OB，∠OBD=∠CBD，OD=DC．
∵点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6），
∴OB=6，OA=8，
∴AB=$\sqrt{{OB}^{2}{+OA}^{2}}$=10，
∴AD²=CD²+AC²，
∴（8-OD）²=OD²+4²，
∴OD=3，
∴D（3，0），
设直线BD的解析式：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式：y=-2x+6；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，
设C点坐标为（b，-$\frac{3}{4}$b+6），
由勾股定理，得
（b-3）²+（-$\frac{3}{4}$b+6）²=3²，
解得b=$\frac{24}{5}$，-$\frac{3}{4}$×$\frac{24}{5}$+6=$\frac{12}{5}$，
C点坐标是（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
（3）设P点坐标为（c，-2c+6）设O到AB的距离为h，P到AB的距离为h₁，
由勾股定理，得
AB=10，由三角形的面积公式，得
$\frac{1}{2}$BA•h=$\frac{1}{2}$OB•OA，即h=$\frac{OB•OA}{BA}$=$\frac{24}{5}$，
由S_△PAB=$\frac{1}{3}$S_△OAB，得
h₁=$\frac{1}{3}$h=$\frac{1}{3}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{8}{5}$，
h₁=$\frac{|\frac{3}{4}c+-2c+6-6|}{\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{8}{5}$，
解得c₁=-$\frac{8}{5}$，-2c+6=$\frac{46}{5}$，即P₁（-$\frac{8}{5}$，$\frac{46}{5}$），
c₂=$\frac{8}{5}$，-2c+6=$\frac{14}{5}$，即P₂（$\frac{8}{5}$，$\frac{14}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了轴对称的性质，勾股定理得出D点坐标是解题关键；（2）利用勾股定理是解题关键；（3）利用等底三角形面积间的关系可得出h与₁的关系是解题关键．