Question

6．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8=3²-1²，16=5²-3²，24=7²-5²；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）32和2008这两个数是奇特数吗？为什么？
（2）设两个连续奇数是2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）两个连续偶数的平方差（取正数）是奇特数吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据32=9²-7²，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，进行判断．
（2）列式并利用平方差公式计算，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；
（3）两个连续偶数的平方差（取正数）不是奇特数，列式得到两个连续偶数构造得奇特数不是8的倍数．

解答 解：（1）32这个数是奇特数．因为32=9²-7²，
∵8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，2008是8的倍数，
∴2008这个数是奇特数；
（2）两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下：
（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n；
（3）两个连续偶数的平方差（取正数）不是奇特数，理由为：
（2n-2）²-（2n）²=（2n-2+2n）（2n-2-2n）=-4（2n-1），不是8的倍数．

点评 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．