Question

【题目】如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．

（1）求证：CD=CB；
（2）如果⊙O的半径为 ，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=OBA=45°，

∵∠AOC=150°，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=15°，

∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC=∠OBC=60°，

∴∠CBD=180°﹣∠OBA﹣∠OBC=75°，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠D=360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD=360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°=75°，

∴∠CBD=∠D，

∴CB=CD

（2）解：∵∠AOB=2∠ACB=90°，OA=OB= ，

∴AB= =2．

【解析】（1）首先连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，由∠AOC=150°，易得△OBC是等边三角形，又由过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，易求得∠CBD=∠D=75°，继而证得结论；（2）由（1）可得△AOB是等腰直角三角形，又由⊙O的半径为 ，即可求得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的外接圆与外心的相关知识，掌握过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．