【题目】如图,已知直线y=x+4交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B.
(1)求抛物线解析式;
(2)点C(m,0)是x轴上异于A、O点的一点,过点C作x轴的垂线交AB于点D,交抛物线于点E.
①当点E在直线AB上方的抛物线上时,连接AE、BE,求S△ABE的最大值;
②当DE=AD时,求m的值.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)①S△ABE最大值为8;②m=.
【解析】
(1)直线y=x+4交x轴于点A,交y轴于点B,则点A、B的坐标分别为:(﹣4,0)、(0,4),可得c值,把A点坐标代入y=﹣x2+bx+c求出b的值,即可得答案;(2)①S△ABE=×ED×OA=2ED=﹣2m2﹣8m,即可求解;②根据A、B坐标可得∠BAO=45°,即可得出AD=AC=|(m+4)|,根据AD=DE列方程求出m的值即可.
(1)∵直线y=x+4交x轴于点A,交y轴于点B,
∴当x=0时,y=4,当y=0时,x=-4,
∴点A(-4,0)、点B(0,4),
∴c=4,
将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:-(-4)2-4x+4=0,
解得:b=﹣3,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣3x+4;
(2)如图,连接EA、EB,
①∵C(m,0),CE⊥x轴,D、E分别在AB和抛物线上,
∴点E、D的坐标分别为:(m,﹣m2﹣3m+4)、(m,m+4),
∵点E在直线AB上方的抛物线上,
∴DE=(﹣m2﹣3m+4)﹣(m+4)=﹣m2﹣4m,
∴S△ABE=×ED×OA=2ED=﹣2m2﹣8m=-2(m+2)2+8,
∵﹣2<0,
∴当m=-2时,S△ABE有最大值8.
②∵OA=OB=4,∠AOB=90°,
∴∠BAO=45°,
∵∠ACE=90°,
∴AD=AC=|m+4|,
∵AD=DE,
∴
解得:m=或m=-4,
∵m=-4时,点C与点A重合,不符合题意,
∴m=.
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【题目】如图,
(1)绕点___逆时针旋转___度得到;
(2)画出绕原点顺时针旋转的,直接写出点坐标;若内一点在的对应.,点为,则的坐标为_ _.(用含的式子表示)
(3)在轴上描出点,使最小,此时 .
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【题目】如图,一次函数y=mx+5的图象与反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)两点,过点A作y轴的垂线,垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAM的面积S;
(3)在y轴上求一点P,使PA+PB最小.
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【题目】如图,已知二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.
(1)请直接写出二次函数的解析式.
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.
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【题目】已知ABCD边AB,AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4=0的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?
(2)若AB的长为,那么ABCD的周长是多少?
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【题目】如图①,已知抛物线y=ax2﹣4amx+3am2(a、m为参数,且a>0,m>0)与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C.
(1)求点B的坐标(结果可以含参数m);
(2)连接CA、CB,若C(0,3m),求tan∠ACB的值;
(3)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴为直线l:x=2,点P是抛物线上的一个动点,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形.若存在,求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】等腰中,,点是上一点(与不重合),连接,将线段绕点顺时针旋转,得到线段.连接. 探究的度数,以及线段与的数量关系.
(1)尝试探究:如图(1) ; ;
(2)类比探索:如图(2),点在直线上,且在点右侧,还能得出与(1)中同样的结论么?请写出你得到的结论并证明:
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,将四边形折叠,使点A落在BC边上的点E处,折痕为BF.
(1)求证:四边形ABEF为菱形;
(2)连接AC交EF于点P, 若CD=2CE,S△PCE=2,求PAF的面积.
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【题目】为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边,已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%,若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程( )
A. 90%×(2+x)(1+x)=2×1 B. 90%×(2+2x)(1+2x)=2×1
C. 90%×(2﹣2x)(1﹣2x)=2×1 D. (2+2x)(1+2x)=2×1×90%
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