Question

【题目】如图①，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．

（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；

（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（3m，0）；（2）tan∠ACB＝；

（3）点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．

【解析】

（1）令y＝0，解方程ax2﹣4amx+3am2＝0，即可求出点B的坐标；

（2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D，可得△BOC为等腰直角三角形，求出AD，CD，则tan∠ACB的值为；

（3）求出抛物线的解析式，分不同的情况：①当P在对称轴的左边，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标，②当P在对称轴的左边，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，则可求出点P的坐标．

解：（1）令y＝0，则有ax2﹣4amx+3am2＝0，

解得：x1＝m，x2＝3m，

∵m＞0，A在B的左边，

∴B（3m，0）；

（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，

由（1）可知B（3m，0），则△BOC为等腰直角三角形，

∵OC＝OB＝3m，

∴BC＝3m，

又∵∠ABC＝45°，

∴∠DAB＝45°，

∴AD＝BD，

∵AB＝2m，

∴m，CD＝2m，

∴tan∠ACB＝；

（3）∵由题意知x＝2为对称轴，

∴2m＝2，

即m＝1，

∵在（2）的条件下有（0，3m），

∴3m＝3am2，

解得m＝，即a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，

①当P在对称轴的左边，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM＝PN，

∵P（m，m2﹣4m+3），

则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，

解得：m＝或，

∴P的坐标为（，）或（）；

②当P在对称轴的右边，

如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN＝FM，

则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，

解得：x＝或；

P的坐标为（）或（）；

综上所述，点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．