Question

【题目】先阅读下列材料，然后解答问题．

材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．

解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝　 　度．

（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC的度数．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）∠BAC的度数为84°或111°

【解析】

（1）利用三角形的完美分割线定义可求解；

（2）分三种情况讨论，由三角形的完美分割线定义和等腰三角形的性质可求解．

解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线，

∴△DAC∽△ABC

∴∠CAD＝∠B＝40°

故答案为：40

（2）若BD＝AD，

∵AD是△ABC的完美分割线，

∴△DAC∽△ABC

∴∠CAD＝∠B＝42°

∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠BAD＝42°

∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°

若AB＝BD，

∴∠BAD＝69°＝∠BDA

∵∵AD是△ABC的完美分割线，

∴△DAC∽△ABC

∴∠CAD＝∠B＝42°

∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°

若AB＝AD，

∴∠B＝∠ADB＝42°

∵AD是△ABC的完美分割线，

∴△DAC∽△ABC

∴∠CAD＝∠B＝42°

∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°

∴不存在AB＝AD，

综上所述：∠BAC的度数为84°或111°