【题目】先阅读下列材料,然后解答问题.
材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如:如图①,AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,那么AD就是△ABC的完美分割线.
解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD= 度.
(2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数.
【答案】(1)40;(2)∠BAC的度数为84°或111°
【解析】
(1)利用三角形的完美分割线定义可求解;
(2)分三种情况讨论,由三角形的完美分割线定义和等腰三角形的性质可求解.
解:(1)∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD=∠B=40°
故答案为:40
(2)若BD=AD,
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD=∠B=42°
∵AD=BD,
∴∠ABD=∠BAD=42°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°
若AB=BD,
∴∠BAD=69°=∠BDA
∵∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD=∠B=42°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=42°+69°=111°
若AB=AD,
∴∠B=∠ADB=42°
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC
∴∠CAD=∠B=42°
∵∠ADB=∠DAC+∠C=42°+∠C≠42°
∴不存在AB=AD,
综上所述:∠BAC的度数为84°或111°
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【题目】如图①,已知抛物线y=ax2﹣4amx+3am2(a、m为参数,且a>0,m>0)与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C.
(1)求点B的坐标(结果可以含参数m);
(2)连接CA、CB,若C(0,3m),求tan∠ACB的值;
(3)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴为直线l:x=2,点P是抛物线上的一个动点,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形.若存在,求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1(k≠0)的图象上,它的对称轴是x=1.有下列四个结论,①. abc<0; ②. a<-;③. a=-k;④. 当0<x<1时,ax+b>k,其中正确结论的个数是( )
A.1;B.2C.3D.4
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【题目】如图坐标系中,O(0,0),A(6,6),B(12,0),将△OAB沿直线CD折叠,使点A恰好落在线段OB上的点E处,若OE=
,则AC:AD的值是( )
A.1:2B.2:3C.6:7D.7:8
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【题目】为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边,已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%,若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程( )
A. 90%×(2+x)(1+x)=2×1 B. 90%×(2+2x)(1+2x)=2×1
C. 90%×(2﹣2x)(1﹣2x)=2×1 D. (2+2x)(1+2x)=2×1×90%
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【题目】如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
(1)求证:AC2=ABAD;
(2)求证:△AFD∽△CFE.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0),则下面的四个结论,其中正确的个数为( )
①2a+b=0②4a﹣2b+c<0③ac>0④当y>0时,﹣1<x<4
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,已知抛物线与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,CD∥x轴交抛物线于点D,M为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)设动点N(-2,n),求使MN+BN的值最小时n的值;
(3)P是抛物线上一点,请你探究:是否存在点P,使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似,(△PAB与△ABD不重合)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点,三角形的布洛卡点是法国数学家长数学教育家克洛尔于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=______________ .
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