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【题目】如图,已知二次函数的图象与y轴交于点A(04),与x轴交于点BC,点C坐标为(80),连接ABAC

1)请直接写出二次函数的解析式.

2)判断ABC的形状,并说明理由.

3)若点Nx轴上运动,当以点ANC为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.

【答案】1;(2)直角三角形,证明见解析;(3)(30)或(-80)或(0)或(0

【解析】

(1)根据待定系数法即可求得;
(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得ABC是直角三角形
(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,m轴交于三个点,AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标

(1)∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),x轴交于点B.C,C坐标(8,0),


解得
∴抛物线表达式:

ABC是直角三角形.
y=0,
解得x1=8,x2=-2,
∴点B的坐标为(-2,0),
由已知可得,
RtABO
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
RtAOC
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在ABC
AB2+AC2=20+80=102=BC2
ABC是直角三角形

(3)A(0,4),C(8,0),
AC==4,
①以A为圆心,AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),
②以C为圆心,AC长为半径作圆,x轴于N,此时N的坐标为(,0)(,0)
③作AC的垂直平分线,g轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在轴上运动,当以点ANC为顶点的三角形是等腰三角形时,N的坐标分别为(-8,0)(,0)(3,0),0)

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