Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣4，0）、B（﹣l，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为量求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？

（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+3；（2）m为﹣2时S有最大值，最大值是6（3）P的坐标为（﹣， ）或（﹣， ）

【解析】试题分析：(1)、将点A和点B的坐标代入解析式，利用待定系数法求出函数解析式；(2)、首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，过点D D作DE∥y轴，交AC于点E，设出点D和点E的坐标，然后求出DE的长度，根据面积的计算公式得出面积的二次函数解析式，从而得出面积的最大值；(3)、以AC为直径作圆交抛物线的对称轴于P，根据点A 和点C的坐标得出中点的坐标，求出AC和OP的长度，设点P的坐标为（，y），然后根据勾股定理求出y的值，得出点P的坐标．

试题解析：(1)、将A（﹣4，0）、B（﹣l，0）代入y=ax2+bx+3得：，

解得， 故抛物线的函数解析式为y=x2+x+3；

(2)、令x=0，则y=3， ∴C（0，3），

设直线AC的解析式为y=mx+n， 代入A（﹣4，0）、C（0，3）得， 解得

∴AC的解析式为y=x+3；

过D作DE∥y轴，交AC于点E，设D（m， m2+m+3），E（m， m+3）（﹣4＜m＜﹣1）， 则DE=m+3﹣（m2+m+3）， ∴DE=﹣m2﹣3m，

∴S=DE×4=2（﹣m2﹣3m）=﹣m2﹣6m=﹣（m+2）2+6，

∴m=﹣2时，S最大=6； 故m为﹣2时S有最大值，最大值是6．

(3)、存在点P使得∠APC=90°， 以AC为直径作圆交抛物线的对称轴于P，

∵A（﹣4，0）、C（0，3）， ∴AC的中点O的坐标为（﹣2，），AC==5，

∴OP==， ∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣4，0）、B（﹣l，0）两点，

∴对称轴x==﹣， 设P（﹣，y）， ∴OP2=（）2，

即（﹣2+）2+（﹣y）2=（）2， 解得y=±，

∴P的坐标为（﹣，）或（﹣，）．