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【题目】在△ABC中,P为边AB上一点.

(1)如图l,若∠ACP=∠B,求证:AC2 =AP·AB;

(2)若M为CP的中点,AC=2,如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】试题分析:

1)由已知条件易证△ACP∽△ABC由此可得AC:AB=AP:ACAC2=AP·AB

2过点CCQBMAB延长线于Q由平行线分线段成比例结合点MPC的中点可得BP=BQBP= 则可得BQ = AP= AQ= ;再证APC∽△ACQ可得AC2 =AP·AQ解方程即可求得BP的长.

试题解析

1∵∠ACP=∠B∠BAC=∠CAP

∴△ACP∽△ABC

∴ACAB=APAC

∴AC2=AP·AB

2如下图,作CQ∥BMAB延长线于Q

MPC的中点,

∴PBBQ=PMMC=1

BP= ,则BQ =

∵AB=3

AP= AQ=

∵∠PBM=∠ACP∠PAC= ∠CAQ

∴△APC∽△ACQ

∴ACAQ=APAC

AC2 =AP·AQ

解得 (不合题意,舍去),

BP的长为.

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检验,当x=3x-2≠0(第四步)

所以x=3是原方程的解.(第五步)

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