Question

【题目】阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．

小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

请你回答：图1中∠APB的度数等于　 　．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于　 　，正方形的边长为　 　；

（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于　 　，正六边形的边长为　 　．

Answer 1

【答案】阅读材料：∠APB=∠AP′C=150°；（1） （2）120°，

【解析】试题分析：根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质即可得到结果；

（1）参照题目给出的解题思路，可将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△A DP′，根据旋转的性质知：△ABP≌△A DP′，进而可判断出△APP′是等腰直角三角形，可得∠A P′P=45°；然后得到△DPP′是直角三角形，即可求得结果；

（2）方法同（2），再结合正六边形的性质即可求得结果．

由题意得△APP′是等边三角形，则∠A P′C=60°

∵

∴△CPP′是直角三角形

∴∠CP′P=90°

∴∠AP′C=150°

∴∠APB=150°；

（1）将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△A DP′，

由题得△ABP≌△A DP′，△APP′是等腰直角三角形，

∴∠AP′P=45°

∵

∴△DPP′是直角三角形，

∴∠DP′P=90°

∴∠DP′A=135°

∴∠APB=135°，正方形的边长为；

（2）方法同（2），∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为