Question

14．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过（-1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论正确的有（　　）
（1）4a-2b+c＜0 （2）2a-b＜0 （3）a＞-1 （4）b²+8a＞4ac．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①将x=-2代入y=ax²+bx+c，可以结合图象得出x=-2时，y＜0；
②由y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），a-b+c=2，与y轴交于（0，2）点，c=2，从而得出a-b=0，二次函数的开口向下，a＜0，∴2a-b＜0；
③根据函数与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可以得出两根的近似值，从而代入函数解析式，得出a，b，的值；得出a＜-1；
④利用③的解析式得出，b²+8a＞4ac．

解答 解：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论
①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax²+bx+c，y=4a-2b+c，
∵-2＜x₁＜-1，∴y＜0，故①正确；

②2a-b＜0；
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），
∴a-b+c=2，与y轴交于（0，2）点，c=2，
∴a-b=0，二次函数的开口向下，a＜0，
∴2a-b＜0，故②正确；

③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
故3a＜-3，即a＜-1；所以③正确

④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故④正确，
故选：D．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标性质，以及利用函数图象得出函数与坐标轴的近似值，进而得出函数解析式，这种题型是中考中新题型．