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【题目】综合与探究

如图,已知抛物线y=﹣x22x+3x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.其顶点为D,对称轴是直线l,且与x轴交于点H

1)求点ABCD的坐标;

2)若点P是该抛物线对称轴l上的﹣个动点,求△PBC周长的最小值;

3)若点E是线段AC上的一个动点(EAC不重合),过点Ex轴的垂线,与抛物线交于点F,与x轴交于点G.则在点E运动的过程中,是否存在EF2EG?若存在,求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)点A坐标为(﹣30),点B坐标为(﹣10).点C坐标为(03).点D坐标为(﹣14);(2)△PBC周长的最小值为;(3)存在点E(﹣21),使得EF2EG

【解析】

1)当y=0时,-x2-2x+3=0,求得:点A坐标为(-30),点B坐标为(-10);令x=0,求得C坐标为(03);化为顶点式即可求得点D的坐标;

2)△PBC的周长为PB+PC+BCBC为定值,当PB+PC最小时,△PBC的周长最小.即可求解;

3)设点E坐标为(xx+3),点Fx-x2-2x+3),则EF=-x2-2x+3-x+3=-x2-3xEG=x+3,即可求解.

1)当y0时,﹣x22x+30

解得x1=﹣3x21A坐标为(﹣30),点B坐标为(﹣10).

x0时,y3C坐标为(03).

y=﹣(x+12+4

D坐标为(﹣14);

2PBC的周长为PB+PC+BC

BC为定值,PB+PC最小时,PBC的周长最小.

A,点B关于抛物线的对称轴l对称,

连接AC,交l于点P,点P即为所求的点.

APBPPB+PC+BCAC+BC

A(﹣30),B(﹣10),C03),

ACBC

∴△PBC周长的最小值为

3)设直线AC的解析式为ykx+b,得

解得k1b3

直线AC的解析式为yx+3

设点E坐标为(xx+3),点Fx,﹣x22x+3),

EF=(﹣x22x+3)﹣(x+3)=﹣x23xEGx+3

EF2EG时,有﹣x23x2x+3).

解得x1=﹣2x2=﹣3(舍去)

x=﹣2时,点E坐标为(﹣21).

存在点E(﹣21),使得EF2EG

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