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【题目】如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,ADBC于点D,过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点EGAD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AFCB的延长线相交于点P

1)求证:BF=EF

2)求证:PA是⊙O的切线;

3)若FG=BF,且⊙O的半径长为3,求BDFG的长度.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3FG=3

【解析】

1)根据切线判定可得EBBC,而ADBC,从而可以确定ADBE,那么BFC∽△DGC,又GAD的中点,就可得出结论BF=EF
2)要证PA是⊙O的切线,就是要证明∠PAO=90°连接AOAB,根据第1的结论和BE是⊙O的切线和直角三角形的等量代换,就可得出结论.
3)点FFHAD于点H,根据前两问的结论,利用三角形的相似性和勾股定理,可以求出BDFG的长度.

1)证明:∵BC是圆O的直径,BE是圆O的切线,
EBBC,又∵ADBC,∴ADBE
∴△BFC∽△DGCFEC∽△GAC

GAD的中点,∴DG=AG,∴BF=EF
2)证明:连结AOAB
BC是圆O的直径,∴∠BAC=90°
RtBAE中,由(1)知F是斜边BE的中点,
AF=FB=EF,∴∠FBA=FAB
又∵OA=OB,∴∠ABO=BAO
BE是⊙O的切线,∴∠EBO=90°
∵∠EBO=FBA+ABO=FAB+BAO=FAO=90°
PA是圆O的切线.

3)解:过点FFHAD于点H
BDADFHAD,∴FHBC
由(2)知∠FBA=BAF,∴BF=AF
由已知得BF=FG,∴AF=FG

∴△AFG是等腰三角形,
FHAD,∴AH=GH

DG=AG,∴DG=2HG

FHBDBFAD,∠FBD=90°

∴四边形BDHF是矩形,BD=FH
FHBC,∴△HFG∽△DCG

∵⊙O的半径长为

解得:

RtFBC中,∵CF=3FGBF=FG
CF2=BF2+BC2

解得FG=3(负值舍去)
FG=3

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