【题目】如图,已知点A的坐标是(﹣1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC,BC,过A,B,C三点作抛物线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,连接BD,求直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
第三问改成,在(2)的条件下,点P是直线BC下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△PCD的面积是△BCD面积的三分之一,求此时点P的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣3;(2)直线BD的解析式为y=x﹣9;(3)符合条件的点P有两个:P1(,),P2(14,25).
【解析】分析:(1)已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长,在直角三角形ACB中由于OC⊥AB,因此可用射影定理求出OC的长,即可得出C点的坐标.然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)本题的关键是得出D点的坐标,CD平分∠BCE,如果连接O′D,那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为(4,-5).根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式;
(3)本题要分两种情况进行讨论:
①过D作DP∥BC,交D点右侧的抛物线于P,此时∠PDB=∠CBD,可先用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据BC与DP平行,那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同,因此可根据D的坐标求出DP的解析式,然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标,然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点.
②同①的思路类似,先作与∠CBD相等的角:在O′B上取一点N,使BN=BM.可通过证△NBD≌△MDB,得出∠NDB=∠CBD,然后同①的方法一样,先求直线DN的解析式,进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标.
综上所述可求出符合条件的P点的值.
详解:(1)∵以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
又∵∠OCB+∠OBC=90°,
∴∠OCA=∠OBC,
又∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴.
又∵A(﹣1,0),B(9,0),
∴,
解得OC=3(负值舍去).
∴C(0,﹣3),
故设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣9),
∴﹣3=a(0+1)(0﹣9),解得a=,
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x﹣9),
即y=x2﹣x﹣3.
(2)∵AB为O′的直径,且A(﹣1,0),B(9,0),
∴OO′=4,O′(4,0),
∵点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,
∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°,
连接O′D交BC于点M,
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO′=4,O′D=AB=5.
∴O′D⊥x轴
∴D(4,﹣5).
∴设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)
∴
解得
∴直线BD的解析式为y=x﹣9.
(3)假设在抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CBD,
设射线DP交⊙O′于点Q,则.
分两种情况(如图所示):
①∵O′(4,0),D(4,﹣5),B(9,0),C(0,﹣3).
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°,使点D与点B重合,则点C与点Q1重合,
因此,点Q1(7,﹣4)符合,
∵D(4,﹣5),Q1(7,﹣4),
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x﹣.
解方程组
得或
∴点P1坐标为(,),坐标为(,)不符合题意,舍去.
②∵Q1(7,﹣4),
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7,4)也符合.
∵D(4,﹣5),Q2(7,4).
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17.
解方程组,得,
∴点P2坐标为(14,25),坐标为(3,﹣8)不符合题意,舍去.
∴符合条件的点P有两个:P1(,),P2(14,25).
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【题目】在正方形中,过点A引射线,交边于点H(H不与点D重合).通过翻折,使点B落在射线上的点G处,折痕交于E,连接E,G并延长交于F.
(1)如图1,当点H与点C重合时,与的大小关系是_________;是____________三角形.
(2)如图2,当点H为边上任意一点时(点H与点C不重合).连接,猜想与的大小关系,并证明你的结论.
(3)在图2,当,时,求的面积.
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【题目】已知M、N直线l上两点,MN=20,O、P为线段MN上两动点,过O、P分别作长方形OABC与长方形PDEF(如图),其中,两边OA、PF分别在直线l上,图形在直线l的同侧,且OA=PF=4,CO=DP=3,动点O从点M出发,以1单位/秒的速度向右运动;同时,动点P从点N出发,以2单位/秒的速度向左运动,设运动的时间为t秒.
(1)若t=2.5秒,求点A与点F的距离;
(2)求当t为何值时,两长方形重叠部分为正方形;
(3)运动过程中,在两长方形没有重叠部分前,若能使线段AB、BC、AF的长构成三角形,求t的取值范围.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,下列四个结论:
①4a+c<0;②m(am+b)+b>a(m≠﹣1);③关于x的一元二次方程ax2+(b﹣1)x+c=0没有实数根;④ak4+bk2<a(k2+1)2+b(k2+1)(k为常数).其中正确结论的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E.过点D作DF⊥AC交AC于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为8,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
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【题目】如图1,P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动,点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动,在直角三角形ABC中,∠A=90°,若AB=16厘米,AC=12厘米,BC=20厘米,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动时间,那么:
(1)如图1,若P在线段AB上运动,Q在线段CA上运动,试求出t为何值时,QA=AP
(2)如图2,点Q在CA上运动,试求出t为何值时,三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的;
(3)如图3,当P点到达C点时,P、Q两点都停止运动,试求当t为何值时,线段AQ的长度等于线段BP的长的
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【题目】阅读后,请解答.
已知,符合表示大于或等于的最小正整数,如,,,….
⑴填空:________,________,若,则的取值范围是________.
⑵某市的出租车收费标准规定如下:以内(包括)收费元,超过的每超过,加收元(不足的按计算).用表示所行的千米数,表示行应付车费,则乘车费可按如下的公式计算:当<≤(单位:)时,(元);当(单位:)时,(元).某乘客乘车后付费元,该乘客所行的路程的取值范围是________.
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【题目】某果农的苹果园有苹果树60棵,由于提高了管理水平,可以通过补种一些苹果树的方法来提高总产量.但如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受的光照就会减少,单棵树的产量也随之降低.已知在一定范围内,该果园每棵果树产果y(千克)与补种果树x(棵)之间的函数关系如图所示.若超过这个范围,则会严重影响果树的产量.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在这个范围内,当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?
(3)若该果农的苹果以3元/千克的价格售出,不计其他成本,按(2)的方式可以多收入多少钱?
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【题目】某校想了解学生每周的课外阅读时间情况,随机调查了部分学生,对学生每周的课外阅读时间x(单位:小时)进行分组整理,并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图:
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图
(2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数
(3)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数
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