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【题目】ABC中,ABBCAC三边的长分别为,求这个三角形的面积.小华同学在解答这道题时,先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点ABC(即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.这种方法叫做构图法.

(1)△ABC的面积为:   

2)若DEF三边的长分别为,请在图2的正方形网格中画出相应的DEF,并利用构图法求出它的面积为   

(3)如图3,△ABC中,AGBC于点G,以A为直角顶点,分别以ABAC为直角边,向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,过点EF作射线GA的垂线,垂足分别为PQ.试探究EPFQ之间的数量关系,并证明你的结论.

(4)如图4,一个六边形的花坛被分割成7个部分,其中正方形PRBARQDCQPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2,则六边形花坛ABCDEF的面积是   m2

【答案】(1)3.5;(2)3; (3)EP=FQ,证明见解析;(4)110m

【解析】分析:(1)利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,计算即可得解;

(2)根据网格结构和勾股定理作出△DEF,再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,计算即可得解;(3)利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP,然后利用“角角边”证明△ABG和△EAP全等,同理可证△ACG和△FAQ全等,根据全等三角形对应边相等可得EP=AG=FQ;(4)过R作RH⊥PQ于H,设PH=h,在Rt△PRH和Rt△RQH中,利用勾股定理列式表示出PQ,然后解无理方程求出h,从而求出△PQR的面积,再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等,总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解.

本题解析:

(1)△ABC的面积=3×3×2×1×3×1×2×3=911.53=95.5=3.5;

(2)△DEF如图2所示:

面积=2×4×1×2×2×2×1×4=8122=85=3;

(3) EP=FQ,

证明:∵△ABE是等腰直角三角形,∴AB=AE,∠BAE=90

∴∠PAE+∠BAG=180°90°=90°,又∵∠AEP+∠PAE=90°,∴∠BAG=∠AEP,

在△ABG和△EAP中,

,∴△ABG≌△EAP(AAS),同理可证,△ACG≌△FAQ,∴EP=AG=FQ;

(4)如图4,过R作RH⊥PQ于H,设RH=h,

在Rt△PRH中,PH=

在Rt△RQH中,QH=,

∴PQ==6,

两边平方得,25h=3612+13h,

整理得, =2,

两边平方得,13h=4,

解得h=3,

×6×3=9,

∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m.

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