【题目】在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、、,求这个三角形的面积.小华同学在解答这道题时,先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.这种方法叫做构图法.
(1)△ABC的面积为: .
(2)若△DEF三边的长分别为、、,请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF,并利用构图法求出它的面积为 .
(3)如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
(4)如图4,一个六边形的花坛被分割成7个部分,其中正方形PRBA,RQDC,QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2,则六边形花坛ABCDEF的面积是 m2.
【答案】(1)3.5;(2)3; (3)EP=FQ,证明见解析;(4)110m.
【解析】分析:(1)利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,计算即可得解;
(2)根据网格结构和勾股定理作出△DEF,再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,计算即可得解;(3)利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP,然后利用“角角边”证明△ABG和△EAP全等,同理可证△ACG和△FAQ全等,根据全等三角形对应边相等可得EP=AG=FQ;(4)过R作RH⊥PQ于H,设PH=h,在Rt△PRH和Rt△RQH中,利用勾股定理列式表示出PQ,然后解无理方程求出h,从而求出△PQR的面积,再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等,总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解.
本题解析:
(1)△ABC的面积=3×3×2×1×3×1×2×3=911.53=95.5=3.5;
(2)△DEF如图2所示:
面积=2×4×1×2×2×2×1×4=8122=85=3;
(3) EP=FQ,
证明:∵△ABE是等腰直角三角形,∴AB=AE,∠BAE=90,
∴∠PAE+∠BAG=180°90°=90°,又∵∠AEP+∠PAE=90°,∴∠BAG=∠AEP,
在△ABG和△EAP中,
,∴△ABG≌△EAP(AAS),同理可证,△ACG≌△FAQ,∴EP=AG=FQ;
(4)如图4,过R作RH⊥PQ于H,设RH=h,
在Rt△PRH中,PH=,
在Rt△RQH中,QH=,
∴PQ==6,
,
两边平方得,25h=3612+13h,
整理得, =2,
两边平方得,13h=4,
解得h=3,
∴×6×3=9,
∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m.
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【题目】有足够多的长方形和正方形卡片,如图.
(1)如图,如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.
这个长方形的代数意义是______________;
(2)小明想用类似方法解释多项式乘法.
那么需用2号卡片_________张,3号卡片_____________张.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为 .
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【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:△AEF≌△BCF.
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【题目】为了解居民用电情况,小陈在小区内随机抽查了30户家庭的月用电量,结果如下表:
月用电量/度 | 40 | 50 | 60 | 80 | 90 | 100 |
户数 | 6 | 7 | 9 | 5 | 2 | 1 |
则这30户家庭的月用电量的众数和中位数分别是 ( )
A. 60,60 B. 60,50 C. 50,60 D. 50,70
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