Question

14．已知x₁，x₂是方程2x²-5x+1=0的两个实根，不解方程，求下列各式的值：
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（2）|x₁-x₂|．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．
（1）利用因式分解的方法得到原式=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算；
（2）根据完全平方公式得到原式=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-5x+1=0的两个实根，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．
∴（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{\frac{25}{4}-1}{\frac{1}{2}}$$\frac{21}{2}$；
（2）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{4}-2}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．