【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点 D,其中点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小;若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD。若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-(x-1)2+4;(2)四边形DFHG的周长最小为;(3)点T的坐标为(, )
【解析】试题分析:(1)设抛物线的解析式为: 然后将点的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式;
(2)作关于轴的对称点,连接交轴于,交对称轴于 ,四边形的周长即为最小,则根据题意即可求得这个最小值及点的坐标;
(3)首先设的坐标为 求得与的长,由平行线分线段成比例定理,求得的长,然后由相似三角形对应边成比例,即可得 则可得到关于的一元二次方程,解方程即可求得答案.
试题解析:(1)设所求抛物线的解析式为: 依题意,将点代入,得:
解得:
∴所求抛物线的解析式为:
存在.如图,
抛物线的对称轴方程为:x=1,
∵点E的横坐标为2,
∴y=4+4+3=3,
∴点E(2,3),
∴设直线AE的解析式为:y=kx+b,
∴直线AE的解析式为:y=x+1,
∴点F(0,1),
∵D(0,3),
∴D与E关于x=1对称,
作F关于x轴的对称点F′(0,1),
连接EF′交x轴于H,交对称轴x=1于G,
四边形DFHG的周长即为最小,
设直线EF′的解析式为:y=mx+n,
解得:
∴直线EF′的解析式为:y=2x1,
∴当y=0时,2x1=0,得
即
当x=1时,y=1,
∴G(1,1);
∴DF=2,
∴使D.G,H、F四点所围成的四边形周长最小值为:
(3)存在.
设M(c,0),
即
要使△DNM∽△BMD,
需 即
可得:
解得: 或c=3(舍去).
当时,
∴存在,点T的坐标为
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【题目】如图,在下面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点,其中a、b、c满足关系式+(b﹣3)2=0,(c﹣4)2≤0
(1)求a、b、c的值;
(2)如果在第二象限内有一点P(﹣m,),请用含m的式子表示四边形ABOP的面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】将四张边长各不相同的正方形纸片按如图方式放入矩形内(相邻纸片之间互不重叠也无缝隙),未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设右上角与左下角阴影部分的周长的差为.若知道的值,则不需测量就能知道周长的正方形的标号为( )
A.①B.②C.③D.④
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【题目】如图是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的图象,观察图象,从中得到如下信息:①学校离小明家1000米;②小明用了20分钟到家③小明前10分钟走了路程的一半;④小明后10分钟比前10分钟走得快,其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
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【题目】小亮、小颖的手上都有两根长度分别为5、8的木棒,小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒,如图,一个均匀的转盘被平均分成6等份,分别标有木棒的长度2,3,5,8,10,12这6个数字.小亮与小颖各转动转盘一次,停止后,指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度.若三根木棒能组成三角形则小亮获胜,三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜.
(1)小亮获胜的概率是 ;
(2)小颖获胜的概率是 ;
(3)请你用这个转盘设计一个游戏,使得对小亮与小颖均是公平的;
(4)小颖发现,她连续转动转盘10次,都没转到5和8,能不能就说小颖获胜的可能性为0?为什么?
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【题目】如图,A、E、F、D四点在同一直线上,CE∥BF,CE=BF,∠B=∠C.(1)△ABF与△DCE全等吗?请说明理由;(2)AB与CD平行吗?请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BDA=115°时,∠EDC=______°,∠DEC=______°;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变______(填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数.若不可以,请说明理由.
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【题目】某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元∕件.试销阶段发现:当销售价为25元∕件时,每天的销售量是250件,销售价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润(元)与销售单价(元)之间的函数关系式.
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大?
(3)在保证销售量尽可能大的前提下,该商场想获得每天2000元的利润,应该将销售价定为多少元?
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