Question

16．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线L（L表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值=5．

Answer 1

分析 首先作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时AP+PB最小；然后可得AP+PB的最小值=A′B，再利用勾股定理求解，即可求得答案．

解答 解：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时AP+PB最小；
则PA=PA′，
∴AP+PB=PA′+PA=A′B，
过点B作BC⊥AA′于点C，
则OA′=OA=2，OC=1，BC=4，
∴A′C=OA′+OC=2+1=3，
∴A′B=$\sqrt{A′{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
∴AP+PB最小值=5．
故答案为：5．

点评 此题考查了最短路径问题以及勾股定理．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．