Question

8．如图，已知c＜0，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₂＞x₁），与y轴交于点C．
（1）若x₂=1，BC=$\sqrt{5}$，求函数y=x²+bx+c的最小值；
（2）若$\frac{OC}{OB}$=2，求抛物线y=x²+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理计算出OC=2得到C点坐标，然后把B、C两点坐标代入y=x²+bx+c中求出b、c，然后利用二次函数的性质求函数的最小值；
（2）设OB=t，则OC=2t，则B（t，0），C（0，-2t），把它们代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+tb+c=0}\\{c=-2t}\end{array}\right.$，解关于b、c的方程组得$\left\{\begin{array}{l}{b=2-t}\\{c=-2t}\end{array}\right.$，则抛物线解析式为y=x²+（2-t）x-2t，设顶点的坐标为（m，n），利用抛物线顶点坐标公式得到m=-$\frac{2-t}{2}$，n=-$\frac{（t+2）^{2}}{4}$，然后消去t得到m与n的关系式即可．

解答 解：（1）∵x₂=1，即B（1，0），
∴OB=1，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴C（0，-2），
把B（1，0），C（0，-2）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²+x-2，
∴函数y=x²+bx+c的最小值=$\frac{4×1×（-2）-{1}^{2}}{4×1}$=-$\frac{9}{4}$；
（2）设OB=t，则OC=2t，
∴B（t，0），C（0，-2t），
把B（t，0），C（0，-2t）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+tb+c=0}\\{c=-2t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2-t}\\{c=-2t}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²+（2-t）x-2t，
设顶点的坐标为（m，n），
则m=-$\frac{2-t}{2}$，n=$\frac{4×1×（-2t）-（2-t）^{2}}{4}$=-$\frac{{t}^{2}+4t+4}{4}$=-$\frac{（t+2）^{2}}{4}$，
把t=2m+2代入得n=-$\frac{（2m+4）^{2}}{4}$=-m²-4m-4（-1＜m＜0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题化为解关于x的一元二次方程．本题的关键是记住抛物线的顶点坐标公式．