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【题目】感知定义

在一次数学活动课中,老师给出这样一个新定义:如果三角形的两个内角αβ满足α+2β90°,那么我们称这样的三角形为类直角三角形

尝试运用

1)如图1,在RtABC中,∠C90°BC3AB5BD是∠ABC的平分线.

①证明ABD类直角三角形

②试问在边AC上是否存在点E(异于点D),使得ABE也是类直角三角形?若存在,请求出CE的长;若不存在,请说明理由.

类比拓展

2)如图2ABD内接于⊙O,直径AB10,弦AD6,点E是弧AD上一动点(包括端点AD),延长BE至点C,连结AC,且∠CAD=∠AOD,当ABC类直角三角形时,求AC的长.

【答案】1)①证明见解析;②CE;(2)当△ABC是“类直角三角形”时,AC的长为

【解析】

1)①证明∠A+2ABD=90°即可解决问题.

②如图1,假设在AC边设上存在点E(异于点D,使得△ABE是“类直角三角形”,证明△ABC∽△BEC,可得,由此构建方程即可解决问题.

2)分两种情形:①如图2,当∠ABC+2C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB.则点F在⊙O,且∠DBF=DOA

②如图3,由①可知,C,A,F共线,当点ED共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题.

1)①证明:如图1中,

BD是∠ABC的角平分线,

∴∠ABC2ABD,

∵∠C90°,

∴∠A+ABC90°,

∴∠A+2ABD90°,

∴△ABD为“类直角三角形”;

②如图1中,假设在AC边设上存在点E(异于点D),使得△ABE是“类直角三角形”,

RtABC中,∵AB5,BC3,

AC,

∵∠AEB=∠C+EBC90°,

∴∠ABE+2A90°,

∵∠ABE+A+CBE90°,

∴∠A=∠CBE,

∴△ABC∽△BEC,

,

CE,

2)∵AB是直径,

∴∠ADB90°,

AD6,AB10,

BD,

①如图2中,当∠ABC+2C90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB,则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA,

∵∠DBF+DAF180°,且∠CAD=∠AOD,

∴∠CAD+DAF180°,

CAF共线,

∵∠C+ABC+ABF90°,

∴∠C=∠ABF,

∴△FAB∽△FBC,

,即 ,

AC

②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点ED共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,

∴∠C+2ABC90°,

∵∠CAD=∠CBF,∠C=∠C,

∴△DAC∽△FBC,

,即,

CDAC+6),

RtADC中,[ ac+6]2+62AC2,

AC或﹣6(舍弃),

综上所述,当△ABC是“类直角三角形”时,AC的长为

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x

1

3

4

5

6

y

1

2

3.4

7.5

2.4

1.4

1

0.8

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