[题目]如图.平面直角坐标系中.直线与轴.轴分别交于点和点.直线与轴.轴分别交于点和点.直线与相交于点.线段.的长是-元二次方程的两根(). .点的横坐标为3.反比例函数的图象经过点．(1)若直线与反比例函数图象上除点外的另一交点为.求的面积:若点在轴上.若点在轴上.求的最小值:(2)若点在坐标轴．上.在平面内存在一点.使以点...为顶点的四边形是矩形且线段为矩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，直线与轴、轴分别交于点和点，直线与相交于点，线段、的长是-元二次方程的两根()，，点的横坐标为3，反比例函数的图象经过点．

（1）若直线与反比例函数图象上除点外的另一交点为，求的面积：若点在轴上，若点在轴上，求的最小值：

（2）若点在坐标轴．上，在平面内存在一点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形且线段为矩形的一条边，直接写出符合条件的点坐标．

【答案】（1）72，20；（2）N点的坐标为(9，)、(9，)或(10，12)

【解析】

（1）先解一元二次方程，得出0A, OC，即可得点A,C坐标，进而求出OB,得出B点坐标，进而求出直线AB解析式，即可得出点E坐标，再求出点P坐标，再用面积的差求出三角形ECP的面积；作出点P关于x 轴的对称点P’,作出点E关于y轴的对称点E', P’E'就是的最小值．

（2）先确定出直线CE解析式，再过点E作直线CE的垂线与坐标轴相交于M, M’,求出MM’的解析式，进而根据矩形的性质，求出直线BN, CN, M'N’最后求直线交点坐标即可．

（1）∵线段OA、OC的长是一元二次方程的两根(OA>OC)，

∴OC=6，OA=12，

∴A(12,0),C(6,0)，

∴OB=OA=16，

∴B(0,16)，

设直线AB解析式为y=k′x+16，

∴12k′+16=0，

∴k′=，

∴直线AB解析式为y=x+16，

∵AB与CD相交于点E，点E的横坐标为3，

∴E(3,12)，

∵反比例函数的图象经过点E，

∴k=3×12=36，

如图1，

∵点P在直线AB上，

∴设P(m,m+16)，

由(1)知，k=36，

∴反比例函数解析式为y=36x，

∵点P还在反比例函数的图象上，

∴m×(m+16)=36，

∴m=3(舍)或m=9，

∴P(9,4)，

由(1)知,A(12,0),C(6,0),E(3,12)

∴AC=18

∴S△ECP=S△ECAS△PCA=12AC×|yE|12AC×|yP|=12AC×(|yE||yP|)=12×18×(124)=72；

如备用图，作点P关于x轴的对称点，

∵P(9,4)，

∴P′(9,4)，

作点E关于y轴的对称点，

∵E(3,12)，

∴E′(3,12)，

连接P′E′交x轴于R，交y轴于S，此时，PR+RS+RE最小，

最小值=P′E′=

（2）如图2,由(1)知,C(6,0),E(3,12)，

∴直线CE解析式为y=x+8，

∵以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边，

∴过点E作MM′⊥CE，

∴直线MM′的解析式为y=x+④，

∴M(0,).M′(19,0)，

过点M作MN∥CE，

∴直线MN解析式为y=x+,①

过点C作CN⊥MN，

∴直线CN的解析式为y=x②

①联立①②得,x=9,y=，

∴N(9,)，

②过点M′作M′N′⊥MM′交直线CN于N′

∴直线M′N′的解析式为y=x③，

联立②③得，x=10，y=12，

∴N′(10,12)，

③过M′′作M′′N′⊥CN交MM′于N，

∵直线CN的解析式为y=x

∴M′′N′′的解析式为y=x⑤，

联立④⑤解得,x=9,y=，

∴N′′(9,)

∴满足条件的N点的坐标为(9,)、(9,)或(10,12)

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①证明△ABD是“类直角三角形”；

②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．

类比拓展

（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．

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