Question

3．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=$\frac{4}{3}$，④S_△ODC=S_{四边形BEOF}中，正确的有①③④．

Answer 1

分析 由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确；
②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；
易证得∠OCD=∠DFC，即可求得③正确；
由①易证得④正确．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4-1=3，
在△EBC和△FCD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}&{\;}\\{∠B=∠DCF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°；
故①正确；
连接DE，如图所示：
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），
故②错误；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{4}{3}$，
故③正确；
∵△EBC≌△FCD，
∴S_△EBC=S_△FCD，
∴S_△EBC-S_△FOC=S_△FCD-S_△FOC，
即S_△ODC=S_{四边形BEOF}．
故④正确；
故答案为：①③④．

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．