Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）能；当t=时，四边形AEFD为菱形；（3）当或4时，△DEF为直角三角形.

【解析】

（1）在Rt△DFC中利用30度所对的边是斜边的一半得到DF=t，故AE=DF；

（2）易证四边形AEFD为平行四边形，得到AD=10-2t，菱形必须有AE=AD，列出方程解出t即可；（3）△DEF为直角三角形有三种情况，对三种情况分别进行计算考虑即可

解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t，

又∵AE=t，∴AE=DF；

（2）能；理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，又AE=DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AB==5，

∴AC=2AB=10，

∴AD=AC-DC=10-2t，

若使AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，t=，

即当t=时，四边形AEFD为菱形；

（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE，即10-2t=2t，t=；

②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴AD=AE，即10-2t=t，t=4；

③∠EFD=90°时，此种情况不存在；

综上所述，当或4时，△DEF为直角三角形.