Question

6．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，DE=CE，AE⊥CD，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．

Answer 1

分析 根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，由线段垂直平分线的性质得出AC=AD，得出△ACD是等边三角形，得出AC=AD=20m，∠ADC=60°，因此∠ADO=30°，求出AO=$\frac{1}{2}$AD=10m，由勾股定理求出DO，得出BD，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得出面积．

解答 解：∵花坛ABCD是菱形，
∴AD=CD=20m，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2DO，∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵DE=CE，AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=CD，即△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=20m，∠ADC=60°，
∴∠ADO=30°，
∴Rt△ADO中，AO=$\frac{1}{2}$AD=10m，
∴DO=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$（m），
∴BD=2DO=20$\sqrt{3}$m，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×20×20$\sqrt{3}$=200$\sqrt{3}$m²．
答：两条小路的长分别为20m、20$\sqrt{3}$m，菱形花坛的面积是200$\sqrt{3}$m²．

点评 本题考查了菱形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质；证明△ACD是等边三角形是解决问题的关键．