Question

16．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，∠CDE=∠CAO，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）证明：△AEF∽△DCE；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的长，求出BC与AC的长，利用对称性确定出D坐标即可；
（2）由对称性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：当CE=EF；当EF=FC；当CE=CF时，利用相似三角形的判定与性质分别求出E坐标即可．

解答 解：（1）由题意tan∠ACB=$\frac{4}{3}$，
∴cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，
∵四边形ABCO为矩形，AB=16，
∴BC=$\frac{AB}{tan∠ACB}$=12，AC=$\frac{BC}{cos∠ACB}$=20，
∴A（-12，0），
∵点D与点A关于y轴对称，
∴D（12，0）；
（2）∵点D与点A关于y轴对称，
∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
②当EF=FC时，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=$\frac{6}{5}$EF，
∵△AEF∽△DCE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AE}{CD}$，即$\frac{EF}{\frac{6}{5}EF}$=$\frac{AE}{20}$，
∴AE=$\frac{50}{3}$，
∴DE=AE-OA=$\frac{50}{3}$-12=$\frac{14}{3}$，
∴E（$\frac{14}{3}$，0）；
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=CAO，即此时点E与点D重合，这与已知条件矛盾，
综上所述，E（8，0）或（$\frac{14}{3}$，0）．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．