Question

11．已知，如图，P为等边三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE²=PE²+PA²，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{3}{2}$，PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴在直角△ABF中，AB²=BF²+AF²=（4+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$）²=25+12$\sqrt{3}$．
则△ABC的面积是$\frac{\sqrt{3}•A{B}^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}（25+12\sqrt{3}）}{4}$=$\frac{25\sqrt{3}+36}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．