Question

20．已知：如图1，在正方形ABCD，E是BC边上一点，F是CD的中点，且AE=DC+CE．求证：AF平分∠DAE．
证法一：延长EF，交AD的延长线于G．（如图2）
证法二：延长BC，交AF的延长线于G．（如图3）

Answer 1

分析 证法一：由ASA证明△ADF≌△GCF，得出DG=CE，GF=EF，由已知条件得出AE=AG，由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
证法二：由ASA证明△ADF≌△GCF，得出AD=CG，∠DAF=∠G，根据AE=AD+CE，得等腰三角形AEG，得出∠DAF=∠G=∠FAE即可．

解答 证明：证法一：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
∴∠FDG=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDG=∠C}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\\{∠DFG=∠CFE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴DG=CE，GF=EF，
∵AE=DC+CE，AG=AD+DG，
∴AE=AG，
∴AF平分∠DAE（三线合一）．
证法二：
在△ADF和△GCF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠GCF=90°}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\\{∠AFD=∠GFC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AD=CG，∠DAF=∠G，
∵EG=EC+CG，AE=AD+CE，
∴EG=AE，
∴∠FAE=∠G，
∴∠FAE=∠DAF，
即AF平分∠DAE．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．