Question

15．在△ABC中，∠A=2∠B，AC=4，BC=6，D为射线BA上一点，D到直线AC，BC的距离相等，则AD=2或10．

Answer 1

分析 分D在线段AB上和D在线段BA的延长线上两种情况，分别构造三角形全等，再结合等腰三角形的性质，可求得答案．

解答 解：①当点D在线段AB上时，如图1，

在CB上取点E，使CE=CA，
∵D到AC和BC的距离相等，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴CE=AC=4，AD=DE，∠A=∠CED=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED，
∴AD=BE=BC-CE=6-4=2；
②当点D不在线段AB上时，在图1的基础上，在射线BA上取点D′，连接CD′，在线段AD′上取点H，使AC=AH，

则∠CAB=2∠CHA=2∠B，
∴∠B=∠CHA，
∴CH=CB=6，且AD=2，
又CD′平分∠FCA，
∴∠D′CD=90°，
∵∠HCD=∠HCA+∠ACD=∠CHA+∠DCB=∠B+∠DCB=∠HDC，
∴HD=HC=6，
∵∠HDC+∠HD′C=90°，
∴∠HD′C=∠HCD′，
∴HD′=HC=6，
∴AD′=AH+HD′=4+6=10，
综上可知AD的长为2或10，
故答案为：2或10．

点评 本题主要考查角平分线的判定和全等三角形的判定和性质，掌握到角两边的距离的点在角的平分线上是解题的关键，注意分类讨论．