Question

【题目】如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图像上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．

（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，t=或t=2

【解析】

（1）根据AB与BC的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；

（2）运动1秒时，在y轴上存在点D，使△DEF的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点E′，连接E′F，与y轴交于点D，连接DE，EF，此时△DEF周长最小，求出周长最小值即可；

（3）存在，若四变形BEMF为平行四边形，由题意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．分BF为对角线，BE为对角线，EF为对角线时，建立方程求解即可得出结论．

解：（1）由题可知点B的坐标为(3，8)，且点B在y＝上．

∴k=3×8=24，

∴反比例函数的表达式为：y＝．

（2）t=1时，E（1，8），F（3，6），则EF＝，

取E关于y轴的对称E′(-1，8)，

连接E′F，E′F＝，△DEF的周长＝DE+DF+EF＝+DE′+DF≥2+E′F，

∴△DEF的周长的最小值＝2+2，

此时点D为E′F与y轴交点，

∵E′(-1，8)，F(3，6)，

设E′F：y=kx+b，

则，

解得，

∴E′F：y＝，

∴此时D(0，)，

即：y轴上存在点D(0，)，使△DEF周长最小，且最小值为2+2．

（3）存在，若四边形BEMF为平行四边形，由题意得E(t，8)，F(3，8-2t)，0＜t≤3．

①当BF是对角线时，BE//FM，此时M在F右侧，M(，82t)，

又∵BE=FM，

∴3t＝3，t2-10t+12=0，

解得t1＝5，t2＝5+（舍）．

②当BE为对角线时，BF//EM，此时M在E正上方，Mt(t，)，

∵ME=BF，

∴8＝2t，t2+4t-12=0，

解得t1=2，t2=-6（舍）．

③EF为对角线时，明显，点M不在双曲线上．

故综上：t=2或5．