Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC⊥CF；
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，请探究线段CF，BC，CD之间的关系；
（3）如图3，在（1）的条件下，若BC=2，CF交DE于点P，连接AP，求△ACP的面积的最大值．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，根据正方形的性质可得∠DAF=90°，AD=AF，根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD=45°，然后求出∠BCF=90°，从而得证；
（2）同（1）求出△ABD和△ACF全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而得到BC+CD=CF；
（3）过点A作AG⊥BC于G，根据等腰直角三角形的性质求出AG、BG，设BD=x，表示出DG，再利用勾股定理列式表示出AD，然后根据S_△APC=S_△ACF-S_△APF列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
在正方形ADEF中，∠DAF=90°，AD=AF，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴BC⊥CF；

（2）∵∠BAD-∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF-∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
同（1）可得△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BC+CD=CF；

（3）如图，过点A作AG⊥BC于G，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，
∴AG=BG=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
设BD=x，则DG=|x-1|，
在Rt△ADG中，AD=

AG2+DG2

=

12+|x-1|2

=

x2-2x+2

，
由（1）得，△ABD≌△ACF，
∴S_△APC=S_△ACF-S_△APF=S_△ABD-S_△APF，
=

1

2

x•1-

1

2

AF•AD，
=

1

2

x-

1

2

AD²，
=

1

2

x-

1

2

（x²-2x+2），
=-

1

2

（x²-3x+2），
=-

1

2

（x-

3

2

）²+

1

8

，
∵-

1

2

＜0，
∴当x=

3

2

时，S有最大值

1

8

，
即BD=

3

2

时，△ACP的面积有最大值为

1

8

．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及二次函数的最值问题，正方形的问题，往往都是通过作辅助线构造出全等三角形求解，要熟练掌握并灵活运用，（3）表示出△APC的面积是难点，也是解题的关键．