Question

【题目】已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴交与点E，已知点B（﹣1，0）．
（1）点A的坐标： ， 点E的坐标：；
（2）若二次函数y=﹣ x2+bx+c过点A、E，求此二次函数的解析式；
（3）P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连结PB、PD，设l是△PBD的周长，当l取最小值时，求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

Answer 1

【答案】
（1）（1，2 ）；（0， ）
（2）

解：因为抛物线y=﹣ x2+bx+c过点A、E，

由待定系数法得：c= ，b= ，

抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+

（3）

解：作点D关于AC的对称点D'，

连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，

即△PBD的周长L取最小值，如图2

．

∵D、D′关于直线AC对称，

∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，

DF= ，DD'=2 ，

求得点D'的坐标为（4， ），

直线BD'的解析式为：y= x+ ，

直线AC的解析式为：y=﹣ x+3 ，

求直线BD'与AC的交点可，得

点P的坐标（ ， ）．

此时BD'= = =2 ，

所以△PBD的最小周长L为2 +2，

把点P的坐标代入y=﹣ + x+ 成立，

所以此时点P在抛物线上．

【解析】解：（1）连接AD，如图1
，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，又B的坐标为（﹣1，0），BC在x轴上，A在第一象限，
∴点C在x轴的正半轴上，
∴C的坐标为（3，0），由中点坐标公式，得：D的坐标为（1，0）．
显然AD⊥BC且AD= BD=2 ，
∴A的坐标是（1，2 ）．
OE= AD，得E（0， ）；
（1）△ABC是边长为4的等边三角形，则BC=4，而点D为BC的中点，BD=2，点B（﹣1，0），则OD=1，就可以求出A的横坐标，等边三角形的高线长，就是A的纵坐标．在直角三角形OBE中，根据三角函数可以求出OE的长，即得到E点的纵坐标．（2）已经求出A，E的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．（3）先作点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值．根据三角函数求的D′的坐标，再求出直线BD′的解析式，以及直线AC的解析式，两直线的交点就是P的坐标．把点P的坐标代入二次函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．