Question

19．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，若AC=3AE，则tan∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 要求tan∠ABC的值，只要求除∠C的正切值即可，因为AB=AC，则∠ABC=∠C，要求∠C的正切值，则需要构造直角三角形，因而连接BE，由于AB是直径，则∠BEA=90°，然后根据题目中的条件可以求出BE、CE的长，从而可以得到∠C的正切值，本题得以解决．

解答 解：连接BE，如下图所示，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AC=3AE，AB=AC，
∴设AE=x，则AB=AC=3x，∠ABC=∠C，
∴$BE=\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{（3x）^{2}-{x}^{2}}=2\sqrt{2}x$，
∴tan∠C=$\frac{BE}{CE}=\frac{BE}{AE+AC}=\frac{2\sqrt{2}x}{x+3x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，解题的关是明确题意，利用数形结合的数学思想，构造直角三角形，然后找出所求问题需要的条件进行解答．