【题目】已知:在四边形中,对角线相交于点,且,作,垂足为点,与交于点,.
(1)如图中的图1,求证:;
(2)如图中的图2,是的中点,若,,在不添加任何辅助线的情况下,请找出图中的四个三角形,使得每个三角形的面积都等于面积的倍,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2),见解析.
【解析】
(1)由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得;
(2)设DE=a,先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a,据此知S△ADC=2a2=2S△ADE,证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a,再分别求出S△ABE、S△BCE、S△BHG,从而得出答案.
解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,
∴∠ADE=∠CGF,
∵AC⊥BD、BF⊥CD,
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,
∴∠DAE=∠GCF,
∴AD=CD;
设,则,,
,
是的中线,
,
,
,
则
在和中,
,
,
综上,面积等于△ADE面积的倍的三角形有:△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.
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【题目】有这样一个问题:探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与(k≠0)的图象性质.
小明根据学习函数的经验,对函数与(k≠0),当k>0时的图象性质进行了探究.
下面是小明的探究过程:
(1)如图所示,设函数与图象的交点为A、B,已知A点的坐标为(﹣k,﹣1),则B点的坐标为 ;
(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.
证明过程如下,设P(m,),直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则,解得:,
∴直线PA的解析式为 .
请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.
②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时,判断△PAB的形状,并用k表示出△PAB的面积.
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【题目】某市正在创建“全国文明城市”,光明学校拟举办“创文知识”抢答案,欲购买两种奖品以抢答者.如果购买种25件,种20件,共需480元;如果购买种15件,种25件,共需340元.
(1)两种奖品每件各多少元?
(2)现要购买两种奖品共100件,总费用不超过1120元,那么最多能购买种奖品多少件?
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【题目】如图,ΔABC中,CD是AB边上的高,AC=8,∠ACD=30°,tan∠ACB= ,点P为CD上一动点,当BP+CP最小时,DP=_________.
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线交于点O,点E是矩形外一点,,,,连接AE交BD于点F、连接CF.
求证:四边形BECO是菱形;
填空:若,则线段CF的长为______.
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【题目】在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由)
(1)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,旋转角为(30﹤﹤180)
①连接DG,BE,求证:DG=BE且DG⊥BE;
②在旋转过程中,如图3,连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.
(2)如图4,分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为 ,四边形MNPQ面积的最大值是 ,
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-x+3与y轴交于点C,,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=5EF,求m的值;(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P,使点E/落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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