Question

3．圆O₁和圆O₂相交于B、C，过圆O₁上一点A作AB、AC分别交圆O₂于D，E，求证：△ADE的外接圆的半径等于O₁O₂．

Answer 1

分析 如图设点O是△ADE的外接圆的圆心，欲证明AO=O₁O₂，只要证明△AOF≌△O₁O₂H即可，由此只要证明：①AF=O₁H，②∠AOF=∠O₁O₂H（辅助线见解答中）．

解答 证明：如图设点O是△ADE的外接圆的圆心，连接OA、OD、OE、BE、BO₂，作O₁M⊥AB于M，OF⊥AB于F，O₂N⊥AB于N，O₁H⊥O₂N于H．
∵O₁M⊥AB，O₂N⊥AB，
∴AM=MB，BN=ND，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD，
∵OA=OD，OF⊥AD，
∴AF=DF，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=MN，
∵∠O₁MN=∠HNM=∠O₁HN=90°，
∴四边形MO₁HN是矩形，
∴O₁H=MN=AF，
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAE=∠OEA，∠ODE=∠OED，
∴∠OAD+∠OEA+∠OED=90°即∠OAD+∠AED=90°，
∵∠OAD+∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠AED，
∵∠CEB=∠O₁O₂B，∠BED=$\frac{1}{2}$∠BO₂D=∠BO₂N=∠DO₂N，
∴∠O₁O₂H=∠AED=∠AOE，
在△AOF和△O₁O₂H中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠{O}_{1}H{O}_{2}}\\{∠AOF=∠{O}_{1}{O}_{2}H}\\{AF={O}_{1}H}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△O₁O₂H，
∴AO=O₁O₂，
∴△ADE的外接圆的半径等于O₁O₂．

点评 本题考查相交两个圆的性质、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、三角形的外心等知识，解题的关键是构造全等三角形，综合性比较强，有难度．