Question

4．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是500件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞30），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：

销售单价（元）	x（x＞30）
销售量y（件）	-10x+800
销售玩具获得利润w（元）	-10x2+1000x-16000

（2）在第（1）问的条件下，若商场获得了8750元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）在第（1）问的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于32元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求：商场销售该品牌玩具获得最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以用含x的代数式分别表示出y和w，本题得以解决；
（2）根据（1）中w与x的关系式可以求得相应的x的值；
（3）根据题意可以列出相应的不等式和将w的关系式化为顶点式，本题得以解决．

解答 解：（1）由题意可得，
y=500-10（x-30）=-10x+800，
w=（x-20）（-10x+800）=-10x²+1000x-16000，
即y=-10x+800，w=-10x²+1000x-16000，
故答案为：y=-10x+800，w=-10x²+1000x-16000；
（2）由题意可得，
-10x²+1000x-16000=8750，
解得，x₁=45，x₂=55，
即该玩具销售单价x应定为45元或55元；
（3）由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{x≥32}\\{-10x+800≥400}\end{array}\right.$，
解得，32≤x≤40，
∵w=-10x²+1000x-1600=-10（x-50）²+9000，
∴当x=40时，w取得最大值，此时w=-10（40-50）²+9000=8000，
即商场销售该品牌玩具获得最大利润是8000元．

点评 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．