Question

【题目】已知：如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴交于点A，点B，点O关于直线AB的对称点为点O′，且点O′恰好在反比例函数y=的图象上．

（1）求点A与B的坐标；

（2）求k的值；

（3）若y轴正半轴有点P，过点P作x轴的平行线，且与反比例函数y=的图象交于点Q，设A、P、Q、O′四个点所围成的四边形的面积为S．若S=S△OAB时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（3，0），B（0，3）；（2）k的值为9；（3）P（0，2）或（0，6）

【解析】

（1）设A（a，0）；B（0，b）代入即可求出a、b的值.进而求出A、B坐标.（2）如图① ，根据点O与O′关于直线AB对称，可知四边形OAO′B为正方形即可得答案.（3）设P（0，m），分两种情况：①当点P在点B的上方时，即：m＞3，延长AO′于PQ相交于点M，设P（0，m），由面积关系可求；②当点P在点B的下方时，即：0＜m＜3，方法同上．

（1）设A（a，0）；B（0，b），代入y=﹣x+3得：a=3，b=3，

所以A（3，0）；B（0，3）.

（2）如图①

图①

∵点O与O′关于直线AB对称，

∴由题意可得四边形OAO′B为正方形，

∴O′（3，3）

则 k=3×3=9

即：k的值为9

（3）设P（0，m），显然，点P与点B不重合

①当点P在点B的上方时，即：m＞3，

延长AO′于PQ相交于点M，如图②所示：

则：Q（，m），M（3，m）

∴PM=3，AM=m，MO′=m﹣3，QM=3﹣，

∴S=S△PMA﹣S△QMO′==×=

∴﹣（3﹣m）（m+3）=，

解之得：m=6

②当点P在点B的下方时，即：0＜m＜3，如图③所示：

显然，PQ⊥AO′，

∴S=PQAO′=×3×=，

∴m=2

∴P（0，2）或（0，6）.