Question

14．如图，已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y=$\frac{8}{x}$交于A、B两点，且点A的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点P（1，a），过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q．
（1）直接写出k的值及点B的坐标；
（2）求线段PQ的长；
（3）如果在直线y=kx上有一点M，且满足△BPM的面积等于12，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得A点坐标，再代入直线解析式可求得k的值，根据对称性可求得B点坐标；
（2）由反比例函数解析式可求得P点坐标，由直线解析式可求得Q点坐标，可求得PQ的长；
（3）可设M坐标为（m，2m），分点M在线段BQ的延长线上和线段QB的延长线上两种情况，分别表示出△BPM的面积，可求得m的值，可求得M的坐标．

解答 解：（1）∵A在双曲线y=$\frac{8}{x}$交于，且A的纵坐标为4，
∴A坐标为（2，4），
代入直线y=kx，可得4=2k，解得k=2，
又A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为（-2，-4）．
（2）∵点P（1，a）在双曲线上，
∴代入$y=\frac{8}{x}$，可得点P的坐标为（1，8）．
∵PQ∥y轴，且点Q在直线AB上，
∴可设点Q的坐标为（1，b）．
代入y=2x，得点Q的坐标为（1，2）．
∴PQ=6．
（3）设点M的坐标为（m，2m）．
S_△BPQ=$\frac{1}{2}×6×3=9$．
①当点M在BQ的延长线上时，S_△BPM=S_△BPQ+S_△MPQ，$12=9+\frac{1}{2}×6×（m-1）$，m=2．
点M的坐标为（2，4）．   
②当点M在QB的延长线上时，S_△BPM=S_△MPQ-S_△BPQ，$12=\frac{1}{2}×6×（1-m）-9$，m=-6．
点M的坐标为（-6，-12）．
综上所述：点M的坐标为（2，4），（-6，-12）．

点评 本题主要考查函数的交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式是解题的关键．