Question

【题目】如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．

（1）求证：AF＝BE；

（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）GE2+GF2＝2CE2．证明见解析.

【解析】

(1)根据边角证明△FCA≌△ECB,所以AF=BE;

(2)FG,EG与CE的数量关系:GE2+GF2=2CE2,先证明∠EGF=∠ECF=90°,然后利用勾股定理证明即可.

解：（1）如图，连接CF．

∵，∠ACB＝90°，CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝45°，

∵点E、F关于直线BC对称，

∴CE＝CF，

∠FCB＝∠BCE＝45°，

∴∠FCA＝45°，

在△FCA与△ECB中，

∴△FCA≌△ECB（SAS），

∴AF＝BE；

（2）FG，EG与CE的数量关系：GE2+GF2＝2CE2，

证明：∵△FCA≌△ECB，

∴∠AFC＝∠BEC，

∵∠AFC+∠CFG＝180°，

∴∠CFG+∠CEG＝180°，

∴∠ECF+∠EGF＝180°，

∵∠ECF＝45°+45°＝90°，

∴∠EGF＝90°，

连接EF，

∴GE2+GF2＝EF2，

∵CE＝CF，

∴CE2+CF2＝2CE2＝EF2，

∴GE2+GF2＝2CE2．