Question

【题目】如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE的点F处，连结BF．

（1）求证：BC＝CE；

（2）设＝k．

①若k＝，求sin∠DCE的值；

②设＝m，试求m与k满足的关系式．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②m2＝2k﹣k2．．

【解析】

（1）根据折叠的性质得到∠BEA＝∠BEF，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明；

（2）①根据矩形的性质、正弦的定义计算；

②根据题意用AD表示出AB、AD，根据勾股定理列式计算即可．

（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，

∵AD∥BC，

∴∠BEA＝∠EBC，

∴∠BEF＝∠EBC，

∴BC＝CE；

（2）解：①∵＝，

∴AD＝5AE，

∴DE＝4AE，

∵BC＝CE，

∴CE＝5AE，

∴sin∠DCE＝＝；

②∵＝k，＝m，

∴AE＝kAD，AB＝mAD，

∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），

在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，

整理得，m2＝2k﹣k2．