Question

12．如图，相距40km的两个城镇A，B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10km．现要修建一条连接两城镇的公路．经过论证，认为AA′+$\widehat{A′B′}$+BB′为最短路线（其中AA′，BB′都与⊙O相切）．
（1）你能计算出这段公路的长度吗？（结果精确到0.1km） 
（2）阴影部分的面积是多少？（结果精确到1km²）

Answer 1

分析 （1）连结OA′、OB′，如图，根据切线的性质得OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，再计算出OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=20，在Rt△OAA′中，利用正弦的定义可求出∠A=30°，则∠AOA′=60°，AA′=$\sqrt{3}$OA′=10$\sqrt{3}$，同理可得∠BOB′=60°，BB′=10$\sqrt{3}$，于是∠A′OB′=60°，接着根据弧长公式计算出弧A′B′的长度，然后求AA′+$\widehat{A′B′}$+BB′的值即可；
（2）用△AA′O与△BB′O的面积减去扇形A′OC和扇形B′OD的面积即可．

解答 解：（1）连结OA′、OB′，如图，
∵AA′，BB′都与⊙O相切，
∴OA′⊥AA′，OB′⊥BB′，
∵点O为AB的中点，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=20，
而OA′=OB′=10，
在Rt△OAA′中，∵sin∠A=$\frac{OA′}{OA}$=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠AOA′=60°，AA′=$\sqrt{3}$OA′=10$\sqrt{3}$，
同理可得∠BOB′=60°，BB′=10$\sqrt{3}$，
∴∠A′OB′=60°，
∴弧A′B′的长度=$\frac{60•π•10}{180}$=$\frac{10}{3}$π，
∴这段公路的长度=10$\sqrt{3}$+$\frac{10}{3}$π+10$\sqrt{3}$≈45.1（km）；

（2）S_△AA′O=$\frac{1}{2}AA′•AO$•sin∠A=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×20×$\frac{1}{2}$=50$\sqrt{3}$，
S_△B′OB=S_△AA′O=50$\sqrt{3}$，
S_扇形A′OC=$\frac{n{πr}^{2}}{360°}$=$\frac{60°π{•10}^{2}}{360°}$=$\frac{50}{3}π$，同理可得，S_扇形B′OB=$\frac{50}{3}π$，
所以S_阴影=S_△AA′O+S_△B′OB-S_扇形A′OC -S_扇形B′OB=2×50$\sqrt{3}$-2×$\frac{50}{3}π$=100$\sqrt{3}$$-\frac{100}{3}$π=69（km²）．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了弧长公式，扇形的面积公式，作出适当的辅助线是解答此题的关键．