【题目】已知抛物线(a>0)与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P是抛物线上一点,且PB=AB,∠PBA=120°,如图所示.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点,且在曲线PA上移动.
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,是否存在点M使△APM的面积为?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标.
【答案】(1);(2)①存在,M(3,);②M(,)或(,)时,|m|+|n|的最大值为.
【解析】
试题分析:(1)先求出A、B两点坐标,然后过点P作PC⊥x轴于点C,根据∠PBA=120°,PB=AB,分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标,最后将点P的坐标代入二次函数解析式即;
(2)①过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,分别用含m的式子表示点D、M的坐标,然后代入△APM的面积公式DMAC,根据题意列出方程求出m的值;
②根据题意可知:n<0,然后对m的值进行分类讨论,当﹣2≤m≤0时,|m|=﹣m;当0<m≤2时,|m|=m,列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值.
试题解析:(1)如图1,令y=0代入,∴,∵a>0,∴,∴x=±2,∴A(﹣2,0),B(2,0),∴AB=4,过点P作PC⊥x轴于点C,∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°,∵PB=AB=4,∴cos∠PBC=,∴BC=2,由勾股定理可求得:PC=,∵OC=OC+BC=4,∴P(4,),把P(4,)代入,∴=16a﹣4a,∴a=,∴抛物线解析式为:;
(2)∵点M在抛物线上,∴,∴M的坐标为(m,);
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,∴2≤m≤4,如图2,过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,设直线AP的解析式为y=kx+b,把A(﹣2,0)与P(4,)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直线AP的解析式为:,令x=m代入,∴,∴D的坐标为(m,),∴DM==,∴S△APM=DMAE+DMCE
=DM(AE+CE)=DMAC=,当S△APM=时,∴=,∴解得m=3或m=﹣1,∵2≤m≤4,∴m=3,此时,M的坐标为(3,);
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,∴﹣2≤m≤2,n<0,当﹣2≤m≤0时,∴|m|+|n|=﹣m﹣n==,当m=时,∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为,此时,M的坐标为(,),当0<m≤2时,∴|m|+|n|=m﹣n==,当m=时,∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为,此时,M的坐标为(,),综上所述,当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,M的坐标为(,)或(,)时,|m|+|n|的最大值为.
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【题目】如图,以点P(-1,0)为圆心的圆,交x轴于B、C两点(B在C的左侧),交y轴于A、D两点(A在D的下方),AD=,将△ABC绕点P旋转180°,得到△MCB.
(1)求B、C两点的坐标;
(2)请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形ACMB的形状(不必证明),求出点M的坐标;
(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转,到与BC重合时停止,设直线l与CM交点为E,点Q为BE的中点,过点E作EG⊥BC于G,连接MQ、QG.请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?若不变,求出∠MQG的度数;若变化,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹:
①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;
②过点D作AC的垂线,垂足为点E.
(2)在(1)作出的图形中,若CB=6,DE=4,则△BCD的面积为 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线经过点M(1,3)和N(3,5)
(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;
(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(﹣2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.
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【题目】为了解全市九年级学生某次数学模拟考试情况,现从全市30000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查,并将调查结果绘制成如下图表:
分数段 | 频数 | 频率 |
x<60 | 20 | 0.10 |
60≤x<70 | 28 | 0.14 |
70≤x<80 | 54 | 0.27 |
80≤x<90 | a | 0.20 |
90≤x<100 | 24 | 0.12 |
100≤x<110 | 18 | b |
110≤x<120 | 16 | 0.08 |
请根据以上图表提供的信息,解答下列问题:
(1)表格中的a= ,b= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)如果把成绩在90分以上(含90分)定为优秀,那么该市30000名九年级学生中本次数学模拟考试成绩为优秀的学生约有多少名?
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【题目】关于以下说法:①买一张彩票一定中奖;②从一副普通扑克牌中任意抽取一张,一定是红桃;判断正确的是( )
A.①②都正确B.只有①正确C.只有②正确D.①②都错误
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