Question

函数y=

ax+k

x+b

（a、b、k都是常数，且k≠ab）叫做“奇特函数”，当a=b=0时，奇特函数y=

ax+k

x+b

就成为反比例函数y=

k

x

（k是常数，且k≠0）．
（1）若矩形的两边长分别是2cm、3cm，当两边长分别增加xcm、ycm后得到的新矩形的面积是8cm²，求y与x的函数关系式，并判断这个函数是否“奇特函数”；
（2）如图在直角坐标系中，点O为原点矩形OABC的顶点，A、C坐标分别为（9，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，“奇特函数”y=

ax+k

x-6

的图象经过点B、E，求这个函数的解析式，并判断A、C、D三点是否在这个函数图象上；
（3）对于（2）中的“奇特函数”y=

ax+k

x-6

的图象，能否经过适当的变换后与一个反比例函数图象重合，若能，请直接写出具体的变换过程和这个反比例函数解析式；若不能，请简述理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的面积公式，可得函数解析式，根据分式的加减，可得答案；
（2）根据图象的交点，可得E点坐标，根据待定系数法，可得奇特函数解析式，把A、C、D点的坐标代入这个函数的解析式判断即可；
（3）把y=

2x-9

x-6

变形为y=

3

x-6

+2，即可得出向左平移6个单位长度，向下平移2个单位长度，得到反比例函数y=

3

x

．

解答：解：（1）由题意得：（2+x）（3+y）=8，
∵x+2≠0，
∴3+y=

8

x+2

，
∴y=

8

x+2

-3=

-3x+2

x+2

，
根据新定义判断得出这个函数是“奇特函数”；
（2）由题意得：点B的坐标是（9，3），
设直线OB解析式为y=k₁x，则3=9k，k=

1

3

，
直线OB解析式为y=

1

3

x，
∵点D是OA中点，
∴点D的坐标是（

9

2

，0），
设直线CD解析式为y=k₂x+b，
则

3=b 0= 9 2 k+b

，
解得：k=-

2

3

直线CD解析式为y=-

2

3

x+3，
由

y= 1 3 x y=- 2 3 x+3

得：

x=3 y=1

，
则点E的坐标是（3，1），
将B（9，3），E（3，1）代入函数y=

ax+k

x-6

得：

3= 9a+k 9-6 1= 3a+k 3-6

，
解得：

a=2 k=-9

，
则“奇特函数”的解析式为y=

2x-9

x-6

，
∵把A点的坐标（9，0）代入得：y=

2×9-9

9-6

≠0，∴A点不在这个函数图象上，
∵把C点的坐标（0，3）代入得：y=

2×0-9

9-6

≠3，∴C点不在这个函数图象上，
∵把D点的坐标（

9

2

，0）代入得：y=

2× 9 2 -9

9 2 -6

=0，∴D点在这个函数图象上；
（3）∵y=

2x-9

x-6

=

2x-12+3

x-6

=

3

x-6

+2，
∴向左平移6个单位长度，向下平移2个单位长度，得到反比例函数y=

3

x

．

点评：本题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式式、函数图象的交点的求法、函数的图象平移的方法，关键是理解有关概念，求出函数的解析式．