Question

5．如图，开口向下的抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
（3）在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点（P左Q右，且P、Q不与B、C重合），PQ=2$\sqrt{2}$，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（-1，0）、B（5，0），C（0，5）代入抛物线y=ax²+bx+c，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）作DE⊥AB于E，交对称轴于F，根据（1）求得的解析式得出顶点坐标，然后根据S_△BCD=S_△CDF+S_△BDF即可求得；
（3）分三种情况：①以点P为直角顶点；②以点R为直角顶点；③以点Q为直角顶点；进行讨论可得使△PQR为等腰直角三角形时点R的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于两点A（-1，0），B（5，0），C（0，5）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$．
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+4x+5；
（2）由y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9可知顶点D的坐标为（2，9），
作DE⊥AB于E，交对称轴于F，如图，
∴E（2，0），
∵B（5，0），C（0，5）
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
把x=2代入得，y=3，
∴F（2，3），
∴DF=9-3=6，
S_△BCD=S_△CDF+S_△BDF=$\frac{1}{2}$×6×2-$\frac{1}{2}$×6×（5-2）=$\frac{1}{2}$×6×5=15；
（3）分三种情况：
①以点P为直角顶点，

∵PQ=2$\sqrt{2}$，
∴RQ=$\sqrt{2}$PQ=4
∵C（0，5），B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RQP=45°
∴RQ∥OC
可求得直线BC的解析式为y=-x+5，
设R（m，-m²+4m+5），则Q（m，-m+5）
则RQ=（-m²+4m+5）-（-m+5）=4
解得m₁=4，m₂=1，
∵点Q在点P右侧，
∴m=4，
∴R（4，5）；
②以点R为直角顶点，

∵PQ=2$\sqrt{2}$，
∴RQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ=2
设R（m，-m²+4m+5）则Q（m，-m+5），则RQ=（-m²+4m+5）-（-m+5）=2，
解得m₁=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
∵点Q在点P右侧，
∴m=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，
∴R（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）；
③以点Q为直角顶点，

∵PQ=2$\sqrt{2}$∴PR=$\sqrt{2}$PQ=4
∵C（0，5），B（5，0）
∴OC=OB=5
∴∠OCB=∠OBC=45°
∵∠RPQ=45°，
∴PR∥OB
设R（m，-m²+4m+5），则P（m-4，-m²+4m+5），
把P（m-4，-m²+4m+5）代入y=-x+5，得-（m-4）+5=-m²+4m+5
解得m₁=4，m₂=1，
此时点P（0，5）
因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．
综上所述：当 R（4，5）或（（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$）时，△PQR为等腰直角三角形．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，顶点坐标，面积计算，等腰直角三角形的判定与性质，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．