【题目】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
【答案】(1)水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=﹣(x﹣3)2+5(0<x<8);(2)为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内;(3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米.
【解析】
(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点(8,0),求出a值,此题得解;
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1.8时x的值,由此即可得出结论;
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标,由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=﹣x2+bx+,代入点(16,0)可求出b值,再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式,即可得出结论.
(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x﹣3)2+5(a≠0),
将(8,0)代入y=a(x﹣3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=﹣,
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=﹣(x﹣3)2+5(0<x<8).
(2)当y=1.8时,有﹣(x﹣3)2+5=1.8,解得:x1=﹣1,x2=7,
∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.
(3)当x=0时,y=﹣(x﹣3)2+5=.
设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=﹣x2+bx+.
∵该函数图象过点(16,0),
∴0=﹣×162+16b+,解得:b=3,
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣(x﹣)2+,
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米.
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【题目】如图,AB是的直径,点C、D在上,且AD平分,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于E,与AB的延长线相交于点F,G为AB的下半圆弧的中点,DG交AB于H,连接DB、GB.
证明EF是的切线;
求证:;
已知圆的半径,,求GH的长.
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【题目】某公司销售一种新型节能电子小产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售:①若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=-x+150,成本为20元/件,月利润为W内(元);②若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳x2元的附加费,月利润为W外(元).
(1)若只在国内销售,当x=1000(件)时,y= (元/件);
(2)分别求出W内、W外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(3)若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值.
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【题目】如图,为一圆洞门.工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑,点A、B、C、D在⊙O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且AB=2,EF=,=120°.
(1)求出圆洞门⊙O的半径;
(2)求立柱CE的长度.
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【题目】如图,已知△ABC,D、E分别在边AB、AC上,下列条件中,不能确定△ADE∽△ACB的是( )
A. ∠AED=∠B B. ∠BDE+∠C=180°
C. ADBC=ACDE D. ADAB=AEAC
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△AOB是等腰直角三角形,∠AOB=90°,点A(2,1).
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式;
(3)在(2)所求的抛物线上,是否存在一点P,使四边形ABOP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A(2,m),B(-3,﹣2)两点.
(1)求m的值;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式k1x+b>的解集;
(3)若P(p,y1),Q(﹣2,y2)是函数y=图象上的两点, 且y1>y2,求实数p的取值范围.
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