Question

【题目】如图，已知□ABCD边BC在x轴上，顶点A在y轴上，对角线AC所在的直线为y=+6，且AC=AB，若点P从点A出发以1cm/s的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发以2cm/s的速度沿射线CB运动，当点P到达终点O时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．

（1）直接写出顶点D的坐标（______，______），对角线的交点E的坐标（______，______）；

（2）求对角线BD的长；

（3）是否存在t，使S△POQ=SABCD，若存在，请求出的t值；不存在说明理由．

（4）在整个运动过程中，PQ的中点到原点O的最短距离是______cm，（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）16；6；4；3；（2）BD=6；（3）存在，t值为2；（4）此时PQ的中点到原点O的最短距离为.

【解析】

（1）令x=0，y=0代入解析式得出A，C坐标，进而利用平行四边形的性质解答即可；

（2）根据平行四边形的性质得出点B，D坐标，利用两点间距离解答即可；

（3）利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式列出方程解答即可；

（4）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可知，当PQ长度最短时，PQ的中点到原点O的距离最短解答即可．

（1）把x=0代入y=+6，可得y=6，

即A的坐标为（0，6），

把y=0代入y=+6，可得：x=8，

即点C的坐标为（8，0），

根据平行四边形的性质可得：点B坐标为（-8，0），

所以AD=BC=16，

所以点D坐标为（16，6），

点E为对角线的交点，

故点E是AC的中点，

E的坐标为（4，3），

故答案为：16；6；4；3；

（2）因为B（-8，0）和D（16，6），

∴BD=；

（3）设时间为t，可得：OP=6-t，OQ=8-2t，

∵S△POQ= SABCD，

当0＜t≤4时，，

解得：t1=2，t2=8（不合题意，舍去），

当4＜t≤6时，，

△＜0，不存在,

答：存在S△POQ=SABCD，此时t值为2；

（4）∵，

当t=时，PQ=，

当PQ长度最短时，PQ的中点到原点O的距离最短，此时PQ的中点到原点O的最短距离为PQ==