Question

8．直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-$\frac{3}{4}$x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）填空：⊙A的半径为5，b=7．（不需写解答过程）
（2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．
（3）点D是线段OC上的一点，连接MA、MD并延长交⊙A于E、F，若AE⊥AF，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，如图1，由M（4，4）得到OQ=4，MQ=4，则AQ=3，则在Rt△AMQ中利用勾股定理可计算出AM=5；然后把M点坐标代入y=-$\frac{3}{4}$x+b中可计算出b的值；
（2）先确定B（$\frac{28}{3}$，0）则AB=OB-OA=$\frac{25}{3}$，再通过计算得到$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{AB}{AM}$，加上∠MAB=∠QAM，则根据相似三角形的判定可判断△ABM∽△AMQ，所以∠AMB=∠AQM=90°，于是根据切线的判定定理可判断直线BC是⊙A的切线；
（3）如图2，由AE⊥AF，BC⊥AM得到AF∥BC，利用两直线平行的问题可设直线AF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+t，则把A点坐标代入可得t=$\frac{3}{4}$，根据一次函数图象上点的坐标特征设F（a，-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{4}$），利用两点间的距离公式得到（a-1）²+（-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{4}$）²=25，解方程得a=-3或a=5（舍去），则F（-3，3），然后利用待定系数法求出直线MF的解析式为y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{24}{7}$，最后计算自变量为0时的函数值即可得到D点坐标．

解答 解：（1）连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，如图1，
∵M（4，4），
∴OQ=4，MQ=4，
∴AQ=4-1=3，
在Rt△AMQ中，AM=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
即⊙A的半径为5；
∵M（4，4）在直线y=-$\frac{3}{4}$x+b上，
∴-3+b=4，
∴b=7．
故答案为5，7；
（2）直线BC与⊙A相切，理由如下：
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+7=0，解得x=$\frac{28}{3}$，则B（$\frac{28}{3}$，0）
∴AB=OB-OA=$\frac{28}{3}$-1=$\frac{25}{3}$，
而AQ=3，MQ=4，
∴$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{5}{3}$，$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{\frac{25}{3}}{5}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{AB}{AM}$，
而∠MAB=∠QAM，
∴△ABM∽△AMQ，
∴∠AMB=∠AQM=90°，
∴AM⊥BC，
∴直线BC是⊙A的切线；
（3）如图2，
∵AE⊥AF，
而BC⊥AM，
∴AF∥BC，
设直线AF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+t，
把A（1，0）代入得-$\frac{3}{4}$+t=0，解得t=$\frac{3}{4}$，
设F（a，-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{4}$），
∵FA=5，
∴（a-1）²+（-$\frac{3}{4}$a+$\frac{3}{4}$）²=25，
整理得（a-1）²=16，解得a=-3或a=5（舍去），
∴F（-3，3），
设直线MF的解析式为y=px+q，
把M（4，4），F（-3，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4p+q=4}\\{-3p+q=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{7}}\\{q=\frac{24}{7}}\end{array}\right.$，
∴直线MF的解析式为y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{24}{7}$，
当x=0时，y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{24}{7}$=$\frac{24}{7}$，
∴D（0，$\frac{24}{7}$）．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质、切线的判定定理和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求一次函数的解析式；灵活应用勾股定理和相似三角形的性质；理解坐标与图形性质．