Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．

⑴求证：AE是⊙O的切线；

⑵若AE＝4cm，CD＝6cm，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD＝2.

【解析】

（1）根据等边对等角得出∠ODA=∠OAD，进而得出∠OAD=∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE=4cm，根据垂径定理得出DF=CD=3cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径，得出ED，根据勾股定理即可求得AD．

（1）证明：连结OA．

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．

∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．

∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．

∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．

∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．

（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=4cm．EF=OA，
又∵OF⊥CD，
∴DF=CD=3cm．
在Rt△ODF中，OD= =5cm，
即⊙O的半径为5cm，
∴EF=OA=5cm，
∴ED=EF-DF=5-3=2cm，
在Rt△AED中，AD= =2.