Question

如图1，直线y=-

4

3

x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线y=kx交于点C（2，

4

3

）．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；直线l分别交线段BC、OC、x轴于点D、E、P，以DE为斜边向左侧作等腰直角△DEF，设直线l的运动时间为t（秒）．
（1）填空：k=

 

；b=

 

；
（2）当t为何值时，点F在y轴上（如图2所示）；
（3）设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式（不要求写解答过程），并写出t的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法即可求得k和b的值；
（2）当F在y轴上时，F到DE的距离等于DE的长的一半，据此即可列方程求得t的值；
（3）分F在y轴的左侧和右侧两种情况进行讨论，当F在y轴的左侧时，阴影部分是两个等腰直角三角形面积的差，当F在y轴的右侧时，阴影部分就是△DEF的面积，根据三角形的面积公式即可求得函数的解析式．

解答：解：（1）把（2，

4

3

）代入y=-

4

3

x+b得：-

8

3

+b=

4

3

，解得：b=4；
把（2，

4

3

）代入y=kx中，2k=

4

3

，解得：k=

2

3

．
故答案是：

2

3

，4；
（2）解：由（1）得两直线的解析式为：
y=-

4

3

x+4和y=

2

3

x，
依题意得OP=t，则
D（t，-

4

3

t+4），E（t，

2

3

t），
∴DE=-2t+4，
作FG⊥DE于G，则FG=OP=t
∵△DEF是等腰直角三角形，FG⊥DE，
∴FG=

1

2

DE，
即t=

1

2

（-2t+4），
解得t=1．

（3）当0＜t≤1时（如图1），S_△DEF=

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）•

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）=

1

4

（-2t+4）²=（t-2）²，
在y轴的左边部分是等腰直角三角形，底边上的高是：

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）-t=

1

2

（-2t+4）-t=2-2t，则面积是：（2-2t）²．
S=（t-2）²-（2-2t）²=-3t²+4t；
当1＜t＜2时（备用图），作FK⊥DE于点K．
S=（t-2）²．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及三角形的面积的计算，正确表示出DE的长是关键．